虚数单位i与π

虚数单位i与π

　　伊斯兰教产生后，仅经过了10年左右的时间就统一了阿拉伯地区(622—632)，以后又用了约100年的时间建成了撒拉逊大帝国。这个国家的人是阿拉伯人。

　　773年，印度学者甘卡夫来到阿巴斯王朝的A．曼斯鲁(754—775)宫廷，将含有0和定位原则的印度数字带到了阿拉伯。

　　9世纪时，阿拉伯数学以印度和希腊数学为基础开始兴起，10—11世纪飞速发展。

　　在这些阿拉伯人中，有位研究数学的人叫M．Y．M．阿鲁克瓦利兹(780左右—850左右)。他创立了阿拉伯王A．马木尔(813—833在位)的图书馆。他汲取了印度和希腊数学的长处之后，写了多部数学著作。这些书与实际密切相关，例如，关于土地测量、商业计算、财产继承和分配等方面的必要的数学。可以说，因其名而出现了英文词汇“algorism”和“algo－rithm”。

　　所谓“algorism，algorithm”含义是“计算顺序”或“计算程序”。最近由于发明了计算机，这个词再次显露头角。

　　此外，他想出了在方程式两边同时增加正项可以消去负项的方法。将补加的正项叫做“阿鲁·吉布拉”。其含义是“移项”。由此演变具有重要含义的英文“al－gebra”一词，译为“代数学”。

　　把印度和阿拉伯数字传入欧洲的是法国的吉鲁拜尔。大约在10世纪。

　　此人生在奥贝鲁纽的一个贫苦之家。在修道院受教育后，到西班牙学习数学，了解了阿拉伯数字(在印度创造的数字)。

　　因为学习到了由阿拉伯人传播的印度数字(也称印度和阿拉伯数字)，吉鲁拜尔幸运地得到了将其传至欧洲的机会。

　　在现在这样用10进制表示小数的方法确立之前，流传着这样的事。

　　在荷兰，有一位叫斯泰芬(S．Stevin，1548—1620)的人，他曾在商店工作，去过普鲁士和波兰，以后担任军中会计。1585年，他出版了关于小数的书。

　　他把小数237.578写成237(0)5①7②8③，并阐述了小数的四则运算，即加法、减法、乘法和除法的方法。除了小数的符号外，他还规定了一种指数表示法，他把x写成①，把x²写成②，把x³写成③。

　　离题稍远一点，说一下将等号写成现在这种形式，即“＝”，的人是英国的L．维克多(1510—1558)。在1557年他写的代数书中最先使用现在的等号。

　　小数第1位称为“成”，小数第2位称为“分”，第3位称为“厘”，第4位称为“毛”。所以0.1234读为1成2分3厘4毛。

　　还有一种说法，将小数第1位称为“分”，第2位称为“厘”，第3位称为“毛”的。这种读法估计是从印度传来的。

　　大家可能都清楚，“实数”由有理数和无理数组成。0与正、负整理数”。

　　在应用公式解二次方程式x²+2x+3＝0中，x＝－1±

　　就是“i的发现”。因此很清楚，在数中，除实数外，还应有“虚数”。

　　如上定义i后，则

　　将虚数称为“虚的数(imaginary number)”，它们是在数轴上不能表示的数。

　　全部实数可表示在数轴上。因4－19是表示实数的数轴。

　　那么虚数如何表示呢？虚数可用高斯平面(复平面)上的竖轴表示。

　　如图4－20，图中竖轴称为“虚轴”或“虚数轴”。

　　包含实轴和虚轴的平面称为“高斯平面”或“复平面”，在这个平面上可以表示所有的复数(包括实数和虚数)。

　　如图4－21所示，点z的坐标为(a，bi)，则有表示z＝a+bi，z为“复数”。

　　在z＝a+bi中，当b＝0，也就是说z＝a时，z为“实数”。

　　当a＝0时，即z＝bi时，z为“虚数”或“纯虚数”。

　　因此，复数是除了普通的复数2+3i，3－5i…等外，还包括如a和bi这样的实数和纯虚数。

　　最早研究简单求解1+2+3+…+40等差数列之和的公式的人就是数学天才高斯(K．F．Gauss，1777—1855)。

　　他于1777年4月30日出生在德国不伦苏哈克的一个砖瓦匠的家中。其父原打算让高斯继承父业。但高斯天性聪慧，其母让高斯在少年时代就开始做学问。

　　他9岁时，先生向班上的学生提问题，“从1加到40”(前面讲的问题)。

　　小高斯立即回答“是820”。先生大吃一惊！先生问他如何计算，他回答，“计算(1+40)×20”。先生再次大吃一惊！因为先生自己都不知道这种方法，而高斯却知道。

　　这就是现在的等差级数(数列)(arithmetical pro－gression，缩写为AP)的计算方法。初项为a，相邻两项之差，即公差为d时，第n项则为a_n＝a+(n－1)d。从初项到第n项之和S_n可用下式表示

　　S_n＝｛2a+(n－1)d｝×n÷2＝(a+a_n)×n÷2

　　此计算公式是200年前由9岁儿童发现的。

　　他之所以能进行各种研究，是因为当时的君主(Prince Ferdinand of Braunshweich)为他提供资金。

　　现在，参看图4－23我们设复数z＝x+yi，当Oz＝r，∠zOH＝θ时，利用三角函数则有，

　　两边乘以r，则变为x＝rocsθ，y＝rsinθ．代入z＝x+yi，则有z＝x+yi＝rcosθ+rsinθ·i．因此z＝r(cosθ+isinθ)。

　　下面再看与自然对数的底e有关的公式。

　　　＝cosy+isiny

　　再由，e²＝e^x+yi＝e^x·e^yi可知

　　e²＝e^x(cosy+isiny)

　　设x＝0，y＝θ，故e^x＝e⁰＝1，e^yi＝e^θi，

　　则e^θi＝cosθ+isinθ

　　此等式叫“欧拉公式(Eulerian equality)”

　　e^πi＝cosπ+isinπ＝－1+oi＝－1

　　直接写为e^πi＝－1。

　　这就是e、π、i三者的关系式，因之也是三者的接触点。此式是二个无理数(超越数？)e和π与虚数单位i的唯一一个关系式。

　　若用－πi替代上式的πi，因sin(－π)＝0，cos(－π)＝－1。则e^－πi＝－1。将这二个公式归纳为一个，则有e^±πi＝－1。